Perkalian titik vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika
yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.
PERKALIAN VEKTOR :
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor
a.Perkalian Titik (Dot
Product)
b.Perkalian Silang (Cross
Product)
Perkalian Vektor dengan Vektor
A · B = C (C = skalar)
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
Dimana : A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan B
Trigonometri dasar dalam Vektor
Alfa pada gambar diatas berada pada titik A, sisi depan, samping dan miring bergantung pada alfa.
Sisi depan ialah sisi yang berada didepan alfa, begitu seterusnya dengan samping dan miring. Penamaan sisi samping depan dan miring juga bisa diganti dengan :
–proyektum untuk sisi miring.
proyektor untuk sisi depan.
–proyeksi untuk sisi samping.
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product)
1.Komutatif : A · B =
B · A
2.Distributif : A · (B+C) = (A · B) + (A · C)
Catatan :
1.Jika A dan B saling tegak lurus à A · B = 0
2.Jika A dan B searah à A · B = A · B
3.Jika A dan B berlawanan arah à A · B = - A · B
Penerapan vektor pada
kehidupan sehari hari
- 1.Ketika penerjun
menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi
jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya
dorong angin.
- 2.Saat perahu
menyebrangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan
gerak perahu dan kecepatan air.
- 3.Dalam suatu
kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya sebenarnya arah gerak
anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur
tersebut.
- 4.Pada saat
seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya
vektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.
- 5.Seorang
pilotpada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan
cara vektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau
berpindah di tempat yang tidak diinginkan.
- 6.Ketika
Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah
ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat.
Contoh Soal :
1. Tentukanlah hasil perkalian titik dari dua
buah vektor berikut ini :
A = 4i - 2j +2k
B = i - 3j +2k
Jawab :
A . B =
4.1 + (-2)(-3) + 2.2
= 14
2. Diketahui
dua vektor : A = 2i + 4j – 2k dan B = 3i + 6j + 3k. Hitunglah A . B dan B . A !
Pembahasan :
A . B = axbx + ayby + azbz
A . B = (2)(3) + (4)(6)
+ (-2)(3)
A . B = 6 + 24 – 6
A . B = 24
B . A = BxAx + ByAy + BzAz
B . A = (3)(2) + (6)(4)
+ (3)(-2)
B . A = 6 + 24 – 6
B . A = 24
hasilnya
sama… A . B = B . A
3.
Diketahui tiga vektor : A = 3i + 4j + 5k, B = 2i + 3j + 4k dan C = 4i + 5j + 6k. Hitunglah A . (B + C)
Pembahasan :
Ax = 3, Ay = 4, Az = 5
Bx = 2, By = 3, Bz = 4
Cx = 4, Cy = 5, Cz = 6
Perkalian
titik memenuhi hukum distributif :
A . (B
+ C) = A . B + A . C
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B =
(3)(2) + (4)(3) + (5)(4)
A . B = 6 +
12 + 20
A . B = 38
A . C = AxCx + AyCy + AzCz
A . C = (3)(4) + (4)(5) + (5)(6)
A . C = 12 + 20 + 30
A . C = 62
A .
(B + C) = A .
B + A
. C
A . (B + C) = 38 + 62
A . (B + C) = 100
A · B = C (C = skalar)
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
Dimana : A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan B
Trigonometri dasar dalam Vektor
Alfa pada gambar diatas berada pada titik A, sisi depan, samping dan miring bergantung pada alfa.
Sisi depan ialah sisi yang berada didepan alfa, begitu seterusnya dengan samping dan miring. Penamaan sisi samping depan dan miring juga bisa diganti dengan :
–proyektum untuk sisi miring.
proyektor untuk sisi depan.
–proyeksi untuk sisi samping.
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product)
1.Komutatif : A · B =
B · A
2.Distributif : A · (B+C) = (A · B) + (A · C)
Catatan :
1.Jika A dan B saling tegak lurus à A · B = 0
2.Jika A dan B searah à A · B = A · B
3.Jika A dan B berlawanan arah à A · B = - A · B
Penerapan vektor pada
kehidupan sehari hari
- 1.Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.
- 2.Saat perahu menyebrangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.
- 3.Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut.
- 4.Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya vektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.
- 5.Seorang pilotpada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau berpindah di tempat yang tidak diinginkan.
- 6.Ketika Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat.
Contoh Soal :
1. Tentukanlah hasil perkalian titik dari dua
buah vektor berikut ini :
A = 4i - 2j +2k
B = i - 3j +2k
Jawab :
A . B =
4.1 + (-2)(-3) + 2.2
= 14
2. Diketahui
dua vektor : A = 2i + 4j – 2k dan B = 3i + 6j + 3k. Hitunglah A . B dan B . A !
Pembahasan :
A . B = axbx + ayby + azbz
A . B = (2)(3) + (4)(6)
+ (-2)(3)
A . B = 6 + 24 – 6
A . B = 24
B . A = BxAx + ByAy + BzAz
B . A = (3)(2) + (6)(4)
+ (3)(-2)
B . A = 6 + 24 – 6
B . A = 24
hasilnya
sama… A . B = B . A
3.
Diketahui tiga vektor : A = 3i + 4j + 5k, B = 2i + 3j + 4k dan C = 4i + 5j + 6k. Hitunglah A . (B + C)
Pembahasan :
Ax = 3, Ay = 4, Az = 5
Bx = 2, By = 3, Bz = 4
Cx = 4, Cy = 5, Cz = 6
Perkalian
titik memenuhi hukum distributif :
A . (B
+ C) = A . B + A . C
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B =
(3)(2) + (4)(3) + (5)(4)
A . B = 6 +
12 + 20
A . B = 38
A . C = AxCx + AyCy + AzCz
A . C = (3)(4) + (4)(5) + (5)(6)
A . C = 12 + 20 + 30
A . C = 62
A .
(B + C) = A .
B + A
. C
A . (B + C) = 38 + 62
A . (B + C) = 100
No comments:
Post a Comment